伽羅瓦  

  未滿二十一歲即因決鬥而死的伽羅瓦,燃燒他短暫的一生開創數學新領域,深深影響後世的數學家,其理論充實、深廣,甚至複雜,但《數學女孩:伽羅瓦理論》的作者結城浩卻用高中生的視角,在本書主角「我」與諸位數學女孩互相切磋、教導、戀愛的過程中,以親切有趣的舉例,詳細說明各個概念,再以宏觀角度帶領讀者掌握伽羅瓦理論的全貌,使各個系統、概念融會貫通。

  現在就跟著2014年日本數學會出版貢獻獎得主──結城浩,一起探索天才伽羅瓦的畢生精華吧!

  伽羅瓦的「第一論文」用群論研究方程式,彰顯群論與體論的對應關係,欲求出「方程式是否能以代數方式解開」的充分必要條件。

  「方程式是否能以代數方式解開」指「對係數進行有限次四則運算與開根號,以求得解」,舉例來說,公式解即是用代數方式解方程式。但阿貝爾已證明五次以上的方程式沒有公式解,有些方程式能用代數方式解開,有些方程式不能用代數方式解開;而伽羅瓦進一步提出充分必要條件,讓人能確切判斷哪些方程式能用代數方式解開,哪些方程式不能。

  如上所述,四次以下的方程式擁有公式解,而公式解是根與係數的關係,意指用係數來表示根。我們只要將係數代入公式解,便能求得根的值(解),解開方程式。但是,五次以上的方程式沒有公式解,我們無法判斷五次以上方程式的可解性。因此,伽羅瓦不直接用係數,反而用「根」的「置換群」來思考方程式的可解性,後人稱之為「伽羅瓦群」。

  伽羅瓦群的定義如下:利用在係數體範圍內的多項式的根,製作有理式;若一個置換群內的所有置換,作用於有理式所得的值都維持不變,這個置換群就是此方程式的伽羅瓦群。

  但是,伽羅瓦群會隨著係數體的範圍改變。我們必須利用輔助方程式所有的根,來擴張係數體,使係數體包含方程式所有的解,同時使伽羅瓦群縮小成正規子群,並重覆縮小的動作,直到伽羅瓦群變成單位群

  若一個方程式的伽羅瓦群能夠縮小成正規子群,最後形成商群基數是質數的單位群,此伽羅瓦群便是可解群,而此方程式可以用代數方式解開。

  到此,伽羅瓦提出了「方程式是否能以代數方式解開」的充分必要條件,解決了高次方程式的求解問題,開闢抽象代數學的研究方向。

  此外,伽羅瓦理論還對應於角三等分尺規作圖問題,使後人明白角三等分的尺規作圖問題,其實有關於有理數的代數方程式,而這有理數代數方程式又對應於伽羅瓦群。因此,伽羅瓦群也是尺規作圖問題的關鍵。

  伽羅瓦理論牽涉、運用許多數學概念。伽羅瓦運用高斯的分圓多項式、拉格朗日對置換根的研究、拉格朗日預解式等,發展出伽羅瓦理論,其中牽涉群與體的定義線性空間與擴張次數商群與群指數體與子體群與子群群與體的對應體的擴張與群的縮小正規擴張與正規子群陪集與商群共軛……等數學概念。

  伽羅瓦理論兼具集大成與開創的意義,是數學愛好者不可不知的重要理論。不認識伽羅瓦,你不會了解什麼叫熱情;不懂伽羅瓦理論,別說你擁有對數學的熱情!快跟著世茂將於九月二日出版的《數學女孩:伽羅瓦理論》,逐一認識上文所述的所有數學概念,展開一趟精彩、甜蜜、有趣又鬥智的數學之旅吧!

 

數學女孩伽羅瓦理論  

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