天才伽羅瓦的劃時代理論 @ 愛閱讀，就是我的Style

伽羅瓦

　　未滿二十一歲即因決鬥而死的伽羅瓦，燃燒他短暫的一生開創數學新領域，深深影響後世的數學家，其理論充實、深廣，甚至複雜，但《數學女孩：伽羅瓦理論》的作者結城浩卻用高中生的視角，在本書主角「我」與諸位數學女孩互相切磋、教導、戀愛的過程中，以親切有趣的舉例，詳細說明各個概念，再以宏觀角度帶領讀者掌握伽羅瓦理論的全貌，使各個系統、概念融會貫通。

　　現在就跟著2014年日本數學會出版貢獻獎得主──結城浩，一起探索天才伽羅瓦的畢生精華吧！

　　伽羅瓦的「第一論文」用群論研究方程式，彰顯群論與體論的對應關係，欲求出「方程式是否能以代數方式解開」的充分必要條件。

　　「方程式是否能以代數方式解開」指「對係數進行有限次四則運算與開根號，以求得解」，舉例來說，公式解即是用代數方式解方程式。但阿貝爾已證明五次以上的方程式沒有公式解，有些方程式能用代數方式解開，有些方程式不能用代數方式解開；而伽羅瓦進一步提出充分必要條件，讓人能確切判斷哪些方程式能用代數方式解開，哪些方程式不能。

　　如上所述，四次以下的方程式擁有公式解，而公式解是根與係數的關係，意指用係數來表示根。我們只要將係數代入公式解，便能求得根的值（解），解開方程式。但是，五次以上的方程式沒有公式解，我們無法判斷五次以上方程式的可解性。因此，伽羅瓦不直接用係數，反而用「根」的「置換群」來思考方程式的可解性，後人稱之為「伽羅瓦群」。

　　伽羅瓦群的定義如下：利用在係數體範圍內的多項式的根，製作有理式；若一個置換群內的所有置換，作用於有理式所得的值都維持不變，這個置換群就是此方程式的伽羅瓦群。

　　但是，伽羅瓦群會隨著係數體的範圍改變。我們必須利用輔助方程式所有的根，來擴張係數體，使係數體包含方程式所有的解，同時使伽羅瓦群縮小成正規子群，並重覆縮小的動作，直到伽羅瓦群變成單位群。

　　若一個方程式的伽羅瓦群能夠縮小成正規子群，最後形成商群的基數是質數的單位群，此伽羅瓦群便是可解群，而此方程式可以用代數方式解開。

　　到此，伽羅瓦提出了「方程式是否能以代數方式解開」的充分必要條件，解決了高次方程式的求解問題，開闢抽象代數學的研究方向。

　　此外，伽羅瓦理論還對應於角三等分的尺規作圖問題，使後人明白角三等分的尺規作圖問題，其實有關於有理數的代數方程式，而這有理數代數方程式又對應於伽羅瓦群。因此，伽羅瓦群也是尺規作圖問題的關鍵。

　　伽羅瓦理論牽涉、運用許多數學概念。伽羅瓦運用高斯的分圓多項式、拉格朗日對置換根的研究、拉格朗日預解式等，發展出伽羅瓦理論，其中牽涉群與體的定義、線性空間與擴張次數、商群與群指數、體與子體、群與子群、群與體的對應、體的擴張與群的縮小、正規擴張與正規子群、陪集與商群、共軛……等數學概念。