數學一看就懂.jpg 

作者洪萬生   台灣師範大學數學系退休教授

     本書是根據作者在電視節目上扮演「數學偵探生也」的角色時,他自己所編寫的劇本改編而成。由於每一單元的時間都只有2分30秒,因此,作者在那麼短的時間內,「必須設定一個趣味的情境,在其中找出數學的問題,然後將它解決。」限於電視節目的特性,他「不能寫出複雜的算式,必須編出所有人都能一看就懂的解法。」而這,也是他一貫所提倡的,希望大家能重新以「一看就懂」的觀念來看待數學。 

        於是,在本書中,作者「想做的就是不要使用算式,而用繪圖、簡單的計算,確實地用講述的方式來讓人明瞭。我希望讓大家能知道,的確有一種可以用這種方式來理解,這種數學能讓以往看到數學就卻步的人也能快樂學習。」事實上,在幾何方面,本書進路近於「圖說一體,不證自明」的 proof without words。對於擴充我們更多面向的數學認知來說,本書的確是蠻有啟發性的普及作品。

        本書共有六章,其主題依序如下:

         第1章 各種求和公式

        第2章 數數的技巧

        第3章 數子的魔術

        第4章 神奇的立體圖形

        第5章 漂亮的證明

        第6章 隱藏在生活中的數學

        第1章所包括的單元有「將連續的10個數加起來」、「從1加到1000」、「金字塔的體積」、「平方數求和公式」、「立方數求和公式」以及「2乘冪的總和」。作者主要利用圖解與圖形(平面或立體)來說明其解法。這些說明的重點,都強調其核證過程與公式發現之關聯,以及多元的解釋觀點,譬如說吧,在2乘冪的總和中,作者就介紹了「用公式解釋」、「用二進位解釋」、「用面積來解釋」等三種進路,非常令人印象深刻。 

        第2章介紹數數的技巧,主要應用組合數概念,再配合一些巧思。第3章主題是「數字的魔術」,是相當吸引人的單元題材,值得多加注意。誠如作者自述:「本章集結了各種魔法般的神奇現象,但它們絕對不是魔術,只是一些隱藏著高深數學的現象而已。只要你知道這些招式的奧秘,一定會發現當中的數學原理比表面的現象更加有趣。」事實上,本章的第1題「扳手指計算」,就是根據下列恆等式而得: 。針對本章第8題「 的謎」之答案等於1,作者提供了三個說服的方法:(1) 從已知的事實來推論,利用 推得 ;(2) 用方程式來解釋,譬如令 ,則 ,於是, ,從而推得 ,解x即得;(3) 歸謬法,若 不為0,那麼,它的差將會無限地小,因而導出矛盾。[1] 

        在第4章主題是訓練三維的直覺,其中,第1題的答案,就與我們直覺背叛,真是下足了馬威,這一題是問讀者:在正四面體、正六面體(亦即正立方體)、正八面體、正十二面體和正二十面體中,哪一個體積最大?而答案並非一般人所認為的正二十面體,而是正十二面體。不過,作者告訴我們:只要實際做出模型馬上就可以一目了然。此外,本章第2題是「分割正四面體」、第3題是「立方體與正八面體的展開圖」、第4題「躲在正十二面體中的立方體」,以及第5題「西瓜罐頭」(比較球的表面積與其外切圓柱面的側面積之大小)。 

        第5章的主題是「漂亮的證明」,作者一開始就指出:

        數學中最重要的就是「證明」了。證明就是將理論性的推測,歸納出結論來。但是如果證明只是列出一堆複雜的符號,那也很無趣。你想不想看看,那種能夠直接看出問題的本質,乾淨俐落的漂亮證明嗎?你不需要自己靈光乍現突然想出來,只要看了本章所寫的證明會有所感動就好。因此,本章不叫「靈光乍現的證明」而叫「漂亮的證明」。 

         因此,本章所提供的漂亮證明,都可以直接看出問題本質,譬如,第1題的「一看就懂的畢氏定理證明」與第2題「平方和的最大值」,都是可以直接訴求圖形的「不證自明」。至於其他證明例子,則大都與離散數學 (discrete mathematics) 息息相關。而這通常是一般大學應用數學系與台師大數學系的必修科目之一,對於後者而言,我們認為此一訓練對於有意從事教職的大學生來說,至關緊要,因為這一類的數學問題實在太多了。

       本書前面五章主要強調數學的「有趣面向」,第6章(也是最後一章)則專門針說明數學知識的「有用面向」,至於其進路則是指出數學如何遍存於日常生活之中。因此,本章10個問題都取自吾人日常生活經驗,譬如牛奶盒的容積與實際計算的誤差問題(第1題)、影印紙A4A3、B4和B5的邊長比之關係(第2題)、名片中暗藏的黃金比例(第3題)、信用卡的會員號碼(第8題)、人行道地磚(第9題)等等,這是學習數學的最佳引起動機素材,值得數學教師好好模仿並進一步改進研發。

        本書不是一般的數學益智書籍,因為它所提供的問題之解決,都需要適當的數學知識背景,無法憑藉天生的本事而得以解出。因此,它可以歸類為趣味數學類的普及作品。 

        不過,由於作者根上生也是一位頗有代表性的數學家(日本拓樸學式圖論 (topological graph theory) 的代表數學家),又任教於橫濱國立大學教育人類科學部,因此,本書在趣味的包裝下,企圖融入頗為深刻的數學知識,自然是不在話下。

         本書的所有問題都非常有趣且重要。不過,其中,我要特別推薦第4章那些神奇的立體形狀,以「鍛鍊三維感覺的問題」。有關空間視覺能力的培養,在數學學習中,它與符號法則的運算與操作能力一樣重要,而且,經由適當的學習,此一能力通常可以大大提升,因此,如果教師與家長願意將本書推薦給中、小學學生閱讀,則不妨積極介入,將自己的學習經驗與他們分享(一起研讀最好),鼓勵他們通過模型或電腦繪圖軟體的輔助,及早強化他們的學習,顯然相當重要。另一方面,本書最後一章的「生活中隱藏的數學」,也是非常難得一見的題材,如果教師在課堂上能夠善加運用,那麼,或許將不再有學生因為數學的「無用」而放棄學習。從數學普及作品中取材,本書也為數學普及之有益於數學教學,提供了另一個重要的範例,值得我們取法。

 優秀數學科普作品的指標

評價方式:指標以五顆星☆☆☆☆☆為最高品質。

1.知識的實質內容 (Intellectual substance of knowledge)

 (1) 認識論面向  ☆☆☆☆

 (2) 方法論面向:☆☆☆☆

 (3) 歷史或演化面向:不適用

 (4) 哲學面向:不適用

 (5) 教育改革面向:☆☆

 (6) 與自然科學、人文社會乃至生活經驗的連結:☆☆☆☆

2.形式或表達 (Form or representation)

 (1) 創新手法:☆☆☆☆

 (2) 數學知識的洞察力:☆☆☆☆

 (3) 歷史事實的洞察力:不適用

(4) 異文化的啟蒙意義:不適用

 (5) 忠實可靠的參考文獻:不適用

 (6) 敘事的趣味性、可及性與一貫性: ☆☆☆☆

 (7) 中譯本的品質(若需要):☆☆☆☆

3. 內容與形式如何平衡 (Balance in Content vs. Form)

 (1) 青少年層次: ☆☆☆☆

 (2) 一般社會大眾:☆☆☆☆



[1] 嚴格來說,這三個說服都需要實數完備性及無窮級數相關運算,才能說得圓滿。

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