如果你問到,微分為什麼有存在的必要?

答案是,當然是因為微分是一種便利的工具。

微分真正的功能就是:變化的分析。 

    如果以直線來看,微分後的結果就是「斜率」。請在腦中畫一張直線的圖形。如果要看直線上某一個點如何往另一個點變化,通常會以斜率「陡峭」或「和緩」等來表現。換句話說,只要對直線進行微分,就會出現「斜率」。而且,即使是蜿蜒的曲線,只要進行微分,就會出現各處的「斜率」。像這樣用來分析「變化」的工具就是微分。

分析變化1.jpg 

在此,以雲霄飛車為例來為大家說明。

   雲霄飛車的軌道大部分都是曲線。因此,坐在雲霄飛車上的乘客可以視為是在軌道這種曲線上移動的一個點。當坐在雲霄飛車上時,不論是下坡,或在平坦的軌道間行進,抑或爬坡時,身體都會因位置的改變而受到牽引或放鬆,出現不同的身體感覺。身體之所以會像這樣隨著位置不同而產生不同的感覺,其中一項要素就是身體方向及速度的差異。由於雲霄飛車的軌道是曲線,且不斷地彎曲,因而不論在軌道上的哪一個點,身體都會變化成最適合那一個瞬間的方向與趨勢。

    將這個例子放到數學上來看,曲線圖就有如雲霄飛車的軌道,圖形上的點就是在軌道上行駛的雲霄飛車。如果將曲線上的每一個點想像成行進的樣子,那麼,曲線上的各個點應該都正在準備往不同方向前進。不過,如果是圖形上的點,就不知道它們是以什麼樣的速度在移動了。

    因此,在數學中,當假設點是在曲線上移動時,便會將該點在下一瞬間的變化稱為「瞬間的斜率」。換句話說,「瞬間的斜率」就是指「曲線上的每個點在該點時的斜率」。

    總之,在數學上思考斜率的問題時,基本上都會取兩個點來看。因此,「一點的斜率」這種說法有點奇怪,所以我們才會採用「瞬間的斜率」這種說法。不過,這樣的說法還是有些不妥。由於微分這種觀念本來就是為了解決物理學及天文學等有關運動的學問才發展出來的,因此在這類領域中,使用「瞬間」這種感覺是很普通的。但是,在去掉運動這種概念的數學曲線上,就會有人無法理解「瞬間」的意思。

   為了說明哪些時候會使用微分,請先想像一下一件事,那就是:求出斜率。 

    「斜率」並不是一個很特殊的數學用語,它和一般使用的「坡度」是一樣的。只要坡度越接近垂直,就代表有突然上升的趨勢。

    舉例來說,就像在KTV唱歌時,看準時機,「唱出會令人High翻天的歌曲」一樣。你已經準備好一首可以炒熱氣氛的拿手好歌,也希望能在適當時機拿出來唱,好讓自己成為主角,那麼,什麼時候才是最理想的時機呢?

    我們試著將包廂內的氣氛程度轉換為以下的圖。只要在氣氛趨勢來到向上攀升的時候唱出這首歌,包廂內的氣氛應該就會一口氣達到高潮。而這就是所謂的「最佳時機」。那麼,哪一個點的趨勢最好呢?只要看圖形,一眼就可以看出「大概是在這附近吧」,但要說出「正確來說,就是這一點最棒!」的話,卻是很困難的(雖然唱歌不需要像這樣計算出分秒不差的正確位置)。

分析變化.jpg 

     但是,若不靠圖形來呈現的話,有沒有方法可以求出這個曲線的每一個瞬間的趨勢。事實上是有的,而這就是「微分」。因此,請你也磨練一下自己對微分的敏銳度,並以成為KTV裡的主角為目標吧。

 

本文摘自《3小時讀通微積分》。

 

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