【何謂「趨近」～極限、無限大～】
何謂「趨近」？
「趨近」的核心概念是指：當一個變數（我們稱為輸入值）無限地靠近某個特定值時，函數（「吐出數字的盒子」）所吐出的輸出值會無限地靠近另一個特定值 。
例如：溫度計與沸水
想像您有一個溫度計，正在測量一鍋水的溫度。這鍋水正被加熱，目標是達到沸點 100°C。
• 函數的角色：您可以將這個情境視為一個函數。
◦ 輸入值 ($x$)：是您觀察水溫的時間點（例如，水被加熱了多少分鐘）。
◦ 輸出值 ($f(x)$)：是該時間點下水鍋中的實際溫度。
• 「趨近」的過程：
◦ 當您持續加熱，時間不斷推移 ($x$ 往後增加)，您會發現水溫（輸出值 $f(x)$）會越來越高，並且無限地靠近 100°C 。
◦ 無論時間再怎麼延長，只要鍋中的水還是水，它的溫度理論上不會超過 100°C（在標準大氣壓下）。它只會「趨近」於 100°C，甚至達到 100°C 並開始沸騰。
◦ 在這裡，我們就說「當時間趨近於無限（持續加熱），水溫趨近於 100°C」。
• 極限值與代入值的差異：
◦ 假設您在某個時刻（例如，剛好加熱了 10 分鐘時），水溫顯示 99.9°C。這是一個實際代入值 ($f(10 \text{ 分鐘}) = 99.9^\circ\text{C}$) 。
◦ 但是，我們討論「趨近」或「極限」時，更關注的是當水溫不斷被加熱、無限地接近沸點時，它所展現的穩定趨勢 。如果它總是在逼近 100°C，那麼 100°C 就是它的極限值。即使在某些特殊情況下，鍋爐出了問題，在理論上應該達到 100°C 的時間點，水溫卻因為某種原因只有 90°C，但只要它不斷靠近 100°C 的趨勢不變，其極限值依然是 100°C 。這時，函數在那個點就是不連續的。
• 「無限大」的關聯：
◦ 在我們的例子中，「時間」可以無限地增長，這就關聯到「無限大」的概念 。即使輸入值（時間）趨近於無限大，但輸出值（水溫）卻是趨近於一個有限的數值（100°C），這是一種極限收斂的範例 。
◦ 相反地，如果水溫一直無限上升（例如，您將鍋爐的功率調到極高），沒有一個上限，那麼水溫的變化就是「發散」到無限大 。
總而言之，「趨近」描述的是一個動態的「靠近」過程，以及在這個過程中函數輸出所呈現的最終穩定趨勢 。
《數學分析圖鑑：圖解x實例，從微積分到向量分析，一本搞定！》．藏本貴文
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