文  台灣師大數學系研究生 黃俊瑋

十年前的某個午后,數學系的第一堂課線性代數課,老師一進教室便在黑板上寫下了向量空間的所有公設,緊接著,令人目不暇給地表演了如何檢查各式各樣具體或者抽象的例子是否為向量空間,留下台下滿是一頭霧水的「觀眾」。若再加上當天午餐前的第一堂微積分課,關於極限的δ-ε 定義,不啻是對這群志得意滿於推甄或大考,而不知天高地厚的數學系新生,一記當頭棒喝!

雖然一般多數理工科系的教學現場,未必循此抽象、一般化而具結構性的進路來引發學生的「動機」,然而,就學科的內容來探討,線性代數是一門延伸於高中解析幾何,特別是向量單元的課程,同時,它也連接著多數理工科系未來專業知識的必修科目,其大量依賴中學數學知識為基礎,並且兼具了理論結構與跨學門間之應用與連結。就其整體知識的實質內涵,與抽象的理論建構與發展而言,一般學生勢必難以精曉。不過,從教育的面向視之,線性代數可謂處於理工科系知識體系之樞紐中心地位,深深影響了未來學習與研究,因此,如何完善地讓學生們掌握,便是教師們的重要課題。基於此,本書作者誇下海口地定下書名「世界第一簡單 -- 線性代數」,他如何把線性代數變簡單,又不失原味,恐怕是無法逃避的挑戰。

誠如作者前言所述:「本書籍的意圖是讓讀者在短時間內對線性代數有一個整體的鳥瞰圖像。」而其預設的讀者群亦是以初學者、學習困難者或是感到好奇的社會人士,以及考慮就讀理工科系的高中生為主要對象,因此,「天下第一簡單」便是本書吸引讀者目光與興趣的重要廣告詞。然而,線性代數有其固有的難度,作者又如何把變簡單呢?漫畫和貼近學生生活的劇情,便是作者用以拉近與讀者之間距離的主要媒介。故事中的主人翁百合野陰錯陽差地成為線性代數家庭教師,而本書便以他的教學歷程作為進行的主軸,當然,各章節便依循其主角教學過程中所設計的教學進度與結構來呈現。

就一般的書籍讀物而言,漫畫與教科書可說是處於兩個極端的對比,特別又是一般人眼中最為抽象、艱深的數學知識。然而,「天下第一簡單」系列的作者,大膽地利用了成人與小孩都會喜歡並且感興趣的文類 - 漫畫,輔以貼近學生生活的劇情作為主軸,結合了他希望讀者學習、了解的數學知識。這無疑是拉近數學知識與讀者間的距離,並為害怕數學的讀者們打上一劑強心針。

為了滿足書名所稱之「天下第一簡單」-線性代數,作者不僅從外在的形式:漫畫,來包裝抽象困難的數學知識,使之更能吸引讀者目光,符合多數讀者們的胃口,即使在內在形式與數學的實質內容方面,作者勢必也得多費功夫與巧思,以更易學易懂的方式來呈現相關的數學知識,力求降低讀者閱讀上的認知負荷,展現出線性代數簡單可讀性與具普及性的一面,企圖拉回望數興嘆的讀者。

首先,作者小心地挑選其所欲呈現的知識內容,並安排呈現的方式與順序。就整體知識架構來看,第二章先介紹相關基礎知識,然而,這些知識為所有數學科目的基礎,並非單只是作為學習線性代數所需。從上述基礎出發,透過矩陣與向量兩樣重要工具,以攻克「線性映射」和「固有值與固有向量」這兩座山為主要目標。

矩陣與向量的部份,占據了本書100 頁的篇幅,主要以基本運算性質之說明與介紹為主,並不涉及太難或過於抽象的定理與證明。在多數場合中,作者也僅給予數字之例子,來「驗證」相關性質與運算法則。待讀者掌握了這兩項基本工具之後,便在第七與第八章中,朝主目標前進。至此,方脫離高中數學知識的範圍,真正開始嗅到線性代數的味道與內涵。至於最後的附錄部份,除了附錄1 - 4「數學家眼中所看到的內積」和單範正交基底 (orthonormal basis ) 的概念之外,其它有關於內積與外積的運算和性質,以及行列式的性質部份,都屬於台灣國中課程的內容之中,這部份對於一般具高中數學程度的學生而言,亦非陌生的題材。

在數學知識的呈現上,本書主要以數學概念的傳遞和解說為主,同時,搭配作者給予的一些巧妙比喻與相關實例,來幫助讀者快速地學習、了解或說記得線性代數的重要基本知識,但書中幾乎不給出定理的證明與推演,著重於知識“Know How” 層面,對於有心 “Know (the reason) Why” 的讀者,恐怕難以滿足其好奇心與求知慾。又例如在本書第22 頁之中,雖然作者提到了數學家眼中的線性代數,即抽象的向量空間公理,然而,作者也明確希望讀者讀過就忘,以免造成學習上的負擔與恐懼。因此,本書雖適於引領初學者或數學程度不佳的學生,初步地窺探線性代數的樣貌,但對於必須將線性代數當作基礎學習與研究工具的多數理工科系學生而言,數學知識的內容深度與廣度顯然不足。

如上所述,作者是以單向度的知識傳遞為主要進路,讀者較難以從閱讀過程中,得到重要啟發或反思。此外,多數場合之中,雖然作者提出了例子來幫助讀者學習,並從中抽象出數學概念,然而,為了易懂與普及性,也省去了所有的證明。因此,就本書中對於數學知識的核證而言,多採用歸納的方式,透過對例子的觀察,來推出一般性公式或對公式進行驗證。不過,以少數特例即推出性質與定理的方式,雖是一種引導發現與猜測的方式,但也容易使讀者誤解或忽略了數學證明之意義與重要性。

 筆者眼中的「線性映射」,是線性代數中極為重要的核心概念,然而,這也反映作者在教育現場上所觀察到的現象,評量內容 (考試) 未能與學科之重要單元相一致的情況,而且學生也未能有意義地學習。所有這些,也是頗值得教師或教育研究者進一步省思的議題。作者也進一步對比了「線性代數考試很高,但不懂線性映射」與「線性代數考試不好,但懂得線性映射」的兩類學生。第一類學生為了考試而學習,為考試而讀書,然而,即使在考試中無往不利,得到高分的學生,卻未必真正懂得一門學問的重要內涵與核心知識概念,這類學生普遍存在於一般中學或大學之中,或許有幸拿到優秀的成績,畢了業,但「見樹不見林」的結果,畢業後往往落得不帶走一片「知識」的結果,反而不如那些雖然考試成績普通,但確實了解重要的知識內容與知識結構的學生,才能把所學帶入於未來的研究、工作或人生之中。

本書並未提到到線性代數之發展史與相關重要數學家,也未就社會、文化與哲學等相關面向進行探討,單純以百合野對一之瀨美紗和讀者進行線性代數「知識」的傳遞為主要目標。由於本書標榜「簡單」,並以不熟悉數學的主角一之瀨美紗作為主要教學對象,因此,對於整體知識內容的難度與廣度,自然無法太過荷求。除了線性獨立與基底、固有值與固有向量,以及書中提到「數學家眼中的數學 (向量內空間、內積等)」部份,本書其它內容大多屬於高中教材範疇,也因此,對於高中數學中等與中上數學程度的學生而言,本書可收複習舊輕驗並伸延新知識之效。針對一般有興趣的社會大眾來說,亦可循著漫畫劇情的脈與架構,一窺線性代數之究竟才是。

以上文章摘自 台灣數學博物館

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